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Unidad II

Identidades Trigonométricas

Las fórmulas de identidades trigonométricas fundamentales

$\begin{matrix} \cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =1 & & \csc\alpha =\cfrac{1}{\sin \alpha } \\ & & \\ \sec^{2}\alpha =1+\tan^{2}\alpha & & \sec\alpha =\cfrac{1}{\cos\alpha } \\ & & \\ \csc^{2}\alpha =1+\cot^{2}\alpha & & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \cot\alpha =\cfrac{1}{\tan\alpha }=\cfrac{\cos\alpha }{\sin\alpha } \end{matrix}$

Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales

1. Sabiendo que $\sin \alpha =\cfrac{3}{5}$ , y que $90^{\circ}< \alpha < 180^{\circ}$ . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ .

$\begin{matrix} \sin \alpha =\cfrac{3}{5} & & \csc\alpha =\cfrac{5}{3}\\ & & \\ \cos\alpha =-\sqrt{1-\left ( \cfrac{3}{5} \right )^{2}}=-\cfrac{4}{5} & & \sec\alpha =-\cfrac{5}{4}\\ & & \\ \tan\alpha =-\cfrac{\cfrac{3}{5}}{\cfrac{4}{5}}=-\cfrac{3}{4} & & \cot\alpha =-\cfrac{4}{3} \end{matrix}$

2. Sabiendo que $\tan \alpha =2$ , y que $180^{\circ}< \alpha < 270^{\circ}$ . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ .

$\begin{matrix} \cos\alpha =-\cfrac{1}{\sqrt{5}}=-\cfrac{\sqrt{5}}{5} & & \sec\alpha =-\sqrt{1+4}=-\sqrt{5}\\ & & \\ \sin\alpha =2\cdot \left ( -\cfrac{\sqrt{5}}{5} \right )=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5} & & \csc\alpha =-\cfrac{\sqrt{5}}{2 }\\ & & \\ \tan\alpha =2 & & \cot\alpha =\cfrac{1}{2} \end{matrix}$

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

$sen(a+b)= sen \ a \ cos \ b \ + cos \ a \ sen \ b$

$sen(a-b)= sen \ a \ cos \ b \ - cos \ a \ sen \ b$

$cos(a+b)= cos \ a \ cos \ b \ - sen \ a \ sen \ b$

$cos(a-b)= cos \ a \ cos \ b \ + sen \ a \ sen \ b$

$\displaystyle tg(a+b)= \frac{tg \ a+tg \ b}{1-tg \ a \cdot tg \ b}$

$\displaystyle tg(a-b)= \frac{tg \ a-tg \ b}{1+tg \ a \cdot tg \ b}$

Ejemplos de ejercicios con suma y diferencia de ángulos

1. $sen \ 15^{o}=sen(45^{o}-30^{o})=sen \ 45^{o}\ cos \ 30^{o}-cos \45^{o}\ sen \ 30^{o}=$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$

2. $cos \ 15^{o}=cos(45^{o}-30^{o})=cos \ 45^{o}\ cos \ 30^{o}+sen \45^{o}\ sen \ 30^{o}=$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$

3. $\displaystyle = tg \ 15^{o}=\frac{tg \ 45^{o}-tg \ 30^{o}}{1+ tg \ 45^{o}\cdot tg \ 30^{o}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

Razones trigonométricas del ángulo doble

$sen \ 2 \ a= 2 \ sen \ a \cos \ a$

$cos \ 2 \ a= cos^{2}a-sen^{2}a$

$\displaystyle tg \ 2 \ a= \frac{2\ tg \ a}{1-tg^{2}a}$

Ejemplos de ejercicios con ángulo doble

1 $\displaystyle sen \ 120^{o}= 2 \ sen \ 60^{o}cos \ 60^{o}=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

2 $\displaystyle cos \ 120^{o}= cos^{2} \ 60^{o}- sen^{2} \ 60^{o}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$

3 $\displaystyle tg \ 120^{o}= \frac{2 \ tg \ 60^{o}}{1-tg^{2}60^{o}}=\frac{2\sqrt{3}}{1-3}=-\sqrt{3}$

Razones trigonométricas del ángulo mitad

$\displaystyle sen \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos \ A}{2}}$

$\displaystyle cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos \ A}{2}}$

$\displaystyle tg \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos \ A}{1+cos \ A}}$ v

Ejemplos de ejercicios del ángulo mitad

$\displaystyle sen (22^{o}30')=sen\left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1-cos \ 45^{o}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\displaystyle cos (22^{o}30')=cos \left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1+cos \ 45^{o}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\displaystyle tg (22^{o}30')=tg \left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1-cos \ 45^{o}}{1+cos \ 45^{o}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}$

Transformación de operaciones

Transformaciones de sumas en productos

$\displaystyle sen A + sen B=2sen\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

$\displaystyle sen A - sen B=2cos\frac{A+B}{2}sen\frac{A-B}{2}$

$\displaystyle cos A + cos B=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

$\displaystyle cos A - cos B=-2sen\frac{A+B}{2}sen\frac{A-B}{2}$

Ejemplos de transformaciones de sumas en productos

1 $sen \ 40^{o} + sen \ 20^{o}=2 \ sen \ 30^{o} \ cos \ 10^{o}$

2 $sen \ 40^{o} - sen \ 20^{o}=2 \ cos \ 30^{o} \ sen \ 10^{o}$

3 $cos \ 40^{o} + cos \ 20^{o}=2 \ cos \ 30^{o} \ cos \ 10^{o}$

4 $cos \ 40^{o} - cos \ 20^{o}=-2 \ sen \ 30^{o} \ sen \ 10^{o}$

Transformaciones de productos en sumas

$\displaystyle sen A \cdot cos B=\frac{1}{2}\left [ sen(A+B)+sen(A-B) \right ]$

$\displaystyle cos A \cdot sen B=\frac{1}{2}\left [ sen(A+B)-sen(A-B) \right ]$

$\displaystyle cos A \cdot cos B=\frac{1}{2}\left [ cos(A+B)+cos(A-B) \right ]$

$\displaystyle sen A \cdot sen B=-\frac{1}{2}\left [ cos(A+B)-cos(A-B) \right ]$

Ejemplos de transformaciones de productos en sumas

1 $\displaystyle sen \ 3x \cdot cos \ x =\frac{1}{2}( sen \ 4x+ sen \ 2x)$

2 $\displaystyle cos \ 3x \cdot sen \ x =\frac{1}{2}( sen \ 4x - sen \ 2x)$

3 $\displaystyle cos \ 3x \cdot cos \ x =\frac{1}{2}( cos \ 4x + cos \ 2x)$

4 $\displaystyle sen \ 3x \cdot sen \ x =-\frac{1}{2}( cos \ 4x - cos \ 2x)$

Angulos que difieren en 90º ó π/2 rad

Ejemplo:

Ángulos que suman 270º ó 3/2 π rad

Ejemplo:

Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad

Ejemplo:

Ángulos negativos

El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

     –α = 360° – α

Ejemplo

Los ángulos suplementarios suman 180° o π radianes.



Ejemplos



Ángulos

mayores de 360º

Los ángulosmayores de 360º son los que se diferencian en un número entero de vueltas.

Ejemplo:

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