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Unidad II

Teorema del Seno y Coseno

Teorema del seno

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

$\displaystyle \frac{a}{\text{sen }A}=\frac{b}{\text{sen }B}=\frac{c}{\text{sen }C}$

Aplicaciones

Este teorema es útil para resolver problemas si los datos dados entran en alguno de los siguientes casos:

1. Si tenemos las medidas de 2 lados de un triángulo, y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Aplicando el teorema inmediatamente puedo obtener el ángulo opuesto al otro lado que conocemos

$\displaystyle \frac{a}{\text{sen }A}=\frac{b}{\text{sen }B}=\frac{c}{\text{sen }C}$

Sen B = (3 . Sen 105,36º) / 8

B = Sen^-1 ((3 . Sen 105,36º) / 8 )

Para hallar el valor del ángulo A se debe aplicar la propiedad de los ángulos interiores de un triangulo.

A + B + C = 180º

A = 180º - 105,36º- B

2. Si tenemos las medidas de 2 ángulos de un triángulo, y el lado opuesto a uno de ellos.

Aplicando el teorema inmediatamente puedo obtener el lado opuesto al otro ángulo que conocemos.

Hacer el ejercicio Ud mismo.

3. También se puede aplicar cuando se conocen 2 ángulos del triángulo y un lado que no es opuesto a ninguno de ellos, sólo que requiere un paso extra, que es obtener el otro ángulo del triángulo.

Esto es posible porque sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

Por ejemplo, en la imagen de arriba, el ángulo B se obtiene de restar los otros 2 ángulos a 180:

$\measuredangle B =180° -\alpha-\beta$

Ignorando uno de los ángulos dados originalmente, ya tenemos los datos de 2 ángulos y el lado opuesto de uno de ellos, como el segundo caso mencionado en las aplicaciones.

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Aplicaciones

Este teorema es útil para resolver problemas,

1. Si tenemos la medida de un ángulo y de los lados adyacentes a este.

Aplicando el teorema podemos obtener el tercer lado, es decir el lado opuesto al ángulo que tenemos, pues

$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$

2. Si tenemos la medida de los 3 lados de un triángulo

Aplicando el teorema podemos obtener cualquier ángulo, pues

$\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} A=\cos^{-1} \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona un par de lados de un triángulo y sus respectivos ángulos opuestos

$\displaystyle \frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{A+B}{2}}{\tan \frac{A-B}{2}}$

Aplicaciones:

Este teorema es igual de útil que el teorema del seno y del coseno, pero es menos popular.

Se puede usar en cualquiera de los casos en los que:

1. Se conocen dos lados y un ángulo opuesto.
2. Se conocen dos ángulos y un lado opuesto

Área de un triángulo

1. El área $S$ de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

$\displaystyle S=\frac{1}{2} b\cdot h$

Por definición

$\displaystyle \text{sen }C=\frac{\text{h}}{\text{a}}\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} a\cdot \text{sen }C=h$

De sustituir $h$ en la fórmula del área anterior, obtenemos el siguiente resultado.

2. El área de un triángulo es el semi producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

$\displaystyle S=\frac{1}{2} a b \cdot\text{ sen }C$

3. El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.

.

$\displaystyle S=\frac{abc}{4R}$

4. El área de un triángulo es igual al producto del radio $r$ de la circunferencia inscrita por su semi perímetro $p$ .

$S=r\cdot p$

5. Fórmula de Herón: Sea $p$ el semi perímetro del triángulo, entonces,

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$