Unidad II

Teorema Pitagoras Resolucion Triangulo Teorema Sen y Cos Identidades Trig. Trabajos Practicos  Volver

Resolución de Triángulos Rectángulos

 

Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado.

 

Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.

 

Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera. Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

                          

Los lados de un triángulo rectángulo verifican el teorema de Pitágoras :   

   

Para hallar los ángulos se utilizan las inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente forma:

 

En la resolución de triángulos rectángulos nos encontramos 4 casos:

 

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto y hay que averiguar el otro cateto.

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 1

Supongamos que se conoce la hipotenusa {a} y el cateto {b}. Para encontrar el cateto faltante y los dos ángulos agudos, calculamos

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arcsen\left( \frac{b}{a}\right)}

{C=90^{o}-B}

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=a\; cos\; B}

 

Otra forma de calcular el cateto {c} es mediante el Teorema de Pitágoras         {c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}}

Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo {a=415\; m} y {b=280\; m}.

 

Calculamos el cateto faltante y los dos ángulos agudos   

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{280}{415}=0.6747 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arcsen(0.674)=42^{o}\; 25'}

 

{C=90^{o}-42^{o}\; 25'=47^{o}\; 35'}

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=415\; cos(42^{o}\; 25')=306.31\; m}

2. Se conocen los dos catetos y no se conoce la hipotenusa

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 2

 

Para encontrar la hipotenusa y los dos ángulos agudos, calculamos

 

{tg\; B = \displaystyle\frac{b}{c} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arctg\left( \frac{b}{c}\right)}

 

{C=90^{o}-B}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\frac{b}{sen\; B}}

 

Otra forma de calcular la hipotenusa {a} es mediante el Teorema de Pitágoras    {a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}}

Ejemplo:  Resolver el triángulo conociendo {b=33\; m} y {c=21\; m}.

 

Calculamos la hipotenusa y los dos ángulos agudos

 

{tg\; B = \displaystyle\frac{33}{21}=1.5714 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arctg(1.5714)=57^{o}\; 32'}

 

{C=90^{o}-57^{o}\; 32'=32^{o}\; 28'}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\frac{33}{sen(57^{o}\; 32')}=39.12\; m}

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 3

Supongamos que se conoce la hipotenusa {a} y el ángulo agudo {B}. Para encontrar el ángulo agudo restante y los catetos, calculamos

 

{C=90^{o}-B}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=a\; sen\; B}

 

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=a\; cos\; B}

 

Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo {a=45\; m} y {B=22^{o}}.

Calculamos el ángulo agudo restante y los catetos

 

{C=90^{o}-22^{o}=68^{o}}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=45\; sen(22^{o})}=16.85\; m}

 

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=45\; cos(22^{o})}=41.72\; m}

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 4

Supongamos que se conoce el cateto {b} y el ángulo agudo {B}. Para encontrar el ángulo agudo, el cateto restante y la hipotenusa, calculamos

 

{C=90^{o}-B}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{b}{sen\; B}}

 

{cotg\; B = \displaystyle\frac{c}{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=b\; cotg\; B}

 

Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo {b=5.2\; m} y {B=37^{o}}.

Calculamos el ángulo agudo, el cateto restante y la hipotenusa

 

{C=90^{o}-37^{o}=53^{o}}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{5.2}{sen(37^{o})}=8.64\; m}

 

{cotg\; B = \displaystyle\frac{c}{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=(5.2) cotg(37^{o})=6.9\; m}

 

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