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El Teorema
de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar
los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de
enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el
valor del tercero.
También nos sirve para comprobar,
conocidos los tres lados de un triángulo, si
un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben
cumplirlo.
Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de
sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está
claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos
puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros.
Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se
le llama hipotenusa,
y a los otros dos lados catetos.
Pues bien, el Teorema
de Pitágoras dice que: «En
todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos«.
Si lo expresamos de
forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que
el área
de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas
de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos
respectivamente.
Existen muchas demostraciones del Teorema de
Pitágoras. Como ejemplo podéis ver esta pequeña animación de tan
solo un minuto en la que se muestran seis demostraciones
geométricas, o esta otra con
piezas de lego.
Vamos a ver una aplicación
práctica del Teorema de Pitágoras para calcular un lado
desconocido en un triángulo rectángulo.
Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un
cable tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la
distancia desde el punto de anclaje del cable en el suelo a la base
del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe medir el cable?
Como el poste vertical es perpendicular al suelo, forma un ángulo
recto con él. Si consideramos el propio poste, el cable y la
distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo,
tenemos un triángulo rectángulo:
Llamando x a
la longitud del cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe
cumplir que:
Es decir, el
cable debe medir 13 metros.
Antes de seguir, quiero dejar claro que, la ecuación
de segundo grado incompleta anterior
tendría dos posibles soluciones, 13 y -13, pero al tratarse de
longitudes, no
tiene sentido el resultado negativo, por lo que solo he
tenido en cuenta directamente el positivo. Esto es algo que haremos
siempre al utilizar el Teorema de Pitágoras.
Veamos otro ejemplo donde lo que queramos calcular no sea la
hipotenusa si no uno de los dos catetos.
Una escalera de 2,5 metros de longitud está apoyada en una pared
vertical. Si el pie de la escalera está colocado a medio metro de
dicha pared, ¿a qué altura llega la parte superior de la escalera?
Al ser la pared vertical, la pared y el suelo son perpendiculares.
Si consideramos la escalera, la altura que alcanza ésta en la pared
medida desde el suelo, y la distancia del pie de la escalera a la
pared, tenemos un triángulo rectángulo:
Llamando h a
la altura que alcanza la escalera en la pared, y aplicando el Teorema de
Pitágoras, se tiene que:
La escalera llega a una altura de 2,45 metros.
En los dos ejemplos que hemos visto hasta ahora formamos
directamente un triángulo rectángulo, pero en muchas ocasiones la
figura inicial es otra, y la construcción del triángulo rectángulo
la hacemos para poder calcular alguna medida desconocida de ésta.
En el siguiente ejemplo tenemos un trapecio y vamos a
utilizar un triángulo rectángulo para calcular uno de sus lados:
Calcula el perímetro del siguiente trapecio rectángulo:
El perímetro del trapecio es igual a la suma de las longitudes de
sus cuatro lados. Para calcularlo necesitamos primero calcular la
longitud del lado inclinado, que desconocemos.
Llamando x al
lado desconocido, podemos considerar el triángulo rectángulo que se
muestra en la siguiente figura:
Tenemos, por tanto, un triángulo rectángulo de hipotenusa x y
catetos de 15 y 10 cm. Aplicando el Teorema de Pitágoras:
El lado del trapecio que nos faltaba por saber mide 18,03 cm, por lo que
el perímetro será:
El perímetro del trapecio es de 83,03 cm.
Por último, os voy a poner un ejemplo de la otra posible aplicación
que os comentaba al comienzo que tiene el teorema de Pitágoras: comprobar,
conocidos los tres lados de un triángulo, si es un triángulo
rectángulo o no.
Comprueba si los siguientes segmentos forman triángulos rectángulos:
a) 25 cm, 24 cm, 7 cm.
b) 12 cm, 15 cm, 4 cm.
Vamos con el primero.
Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir que el cuadrado del
mayor de los tres segmentos sea igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos segmentos.
El cuadrado del segmento de mayor longitud (el segmento de 25 cm)
es:
Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:
Como podemos observar, se
cumple el Teorema de Pitágoras y, por tanto, podemos
afirmar que los
segmentos de 25 cm, 24 cm y 7 cm forman un triángulo rectángulo.
Veamos ahora el segundo:
El cuadrado del segmento de mayor longitud, que en este caso es el
segmento de 15 cm, es:
Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:
No son iguales, por lo que no
se cumple el Teorema de Pitágoras y, en consecuencia, el
triángulo que forman los segmentos de 12 cm, 15 cm y 4 cm no es
rectángulo.
De hecho podemos afirmar que dichos segmentos forman
un triángulo obtusángulo (tiene uno de sus ángulos obtusos,
es decir, mayor de 90 grados).
¿Por qué lo se?
Es muy sencillo. Se cumple siempre que:
Si el cuadrado del lado de mayor longitud es mayor que
la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata de un triángulo
obtusángulo (triángulo con un
ángulo obtuso, mayor de 90 grados).
Si el cuadrado del lado de mayor longitud es igual que
la suma de los cuadrados de los otros dos lados es un triángulo
rectángulo (es lo que dice el Teorema de Pitágoras).
Y, si el cuadrado del lado de mayor longitud es menor que
la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata entonces de
un triángulo
acutángulo (triángulo con los tres ángulos agudos, menores
de 90 grados).
Espero que todo esto que os he contado os haya gustado y os sea útil.
Y recordad una cosa: El
Teorema de Pitágoras solo se cumple en
triángulos rectángulos, así que si el triángulo no es rectángulo no
lo podemos utilizar.
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